皮亚杰儿童空间概念发展的研究
数和形历来是数学的两大支柱，在学前阶段，有关儿童数概念的认知的研究层出不穷，并建立了一系列相应的儿童数学能力发展的理论。而对形的研究则相对较少，与形相关的几何学是数学中一门研究空间位置或定位的科学。几何学有多种，与儿童的经验最密切相关的是拓扑几何、欧氏几何、射影几何及度量几何。皮亚杰从1929年开始着手研究空间、几何等概念的形成和发展。皮亚杰指出，儿童空间观念的演化是在两个不同的水平上分别进行的——知觉水平和思维(想像)水平。在逻辑上并非如人们所假定的那样，后者是从前者中而来，而是各自沿着本身的途径发展的。儿童理解的空间知识不一定与他们看到的相匹配。年幼儿童也许看到了一条“直线”或一个“三角形”，但他无法将这些观念转化为心理表象。皮亚杰强调的空间表象是一种结构，而不是知觉的简单反应。从一般意义上讲，表象活动是知觉活动的反应或投射。
在研究2～7岁幼儿根据知觉抽象几何概念或几何图形的能力时，皮亚杰通过观察儿童用触觉识别形状的过程，发现儿童对几何图形进行再认的发展顺序是：儿童熟悉的物体——拓扑图形——欧氏(欧几里得)几何图形。
在研究射影空间时，皮亚杰让儿童画出不同几何图形的透视图、向儿童提问一些有关物影投射，从不同视角观察到的物物关系以及圆柱、圆锥一类几何体分割后的部位等问题。皮亚杰认为，在射影几何中一个物体或一条直线这样的概念，儿童不是根据它本身来孤立考虑的，而是跟观察它的视点有关。皮亚杰把一个娃娃放在儿童的右角上，娃娃只能看到一根木棒的端面，而儿童能看到一根长的木棒，让儿童画出这根木棒他看出来的样子及娃娃看出来的样子。可以观察到，小于4岁的儿童表现出来丝毫不能理解，4～7岁的儿童表现出完全不会或部分地不会对视点加以区别。由此，在学前阶段的儿童往往基于自身的视角来判断事物的位置。
在研究物体相互位置的空间关系时，皮亚杰用“瓶中水位”【3】实验表明，四五岁幼儿的表现通常是涂鸦，对任务本身都不理解；而五六岁幼儿则以瓶底或瓶子的壁为参照系统，非以自然界中的水平轴——桌面为参照系统。学前儿童还无法在空间中将物体安置在相关位置，使之相互间有正确的空间关系。
总之，皮亚杰认为对于三四岁幼儿来说，形状不是严格不变的，而是在操作下可改变的。当他们临摹正方形、长方形、圆形和椭圆形时，都用一个封闭的曲线代表他们画的图形不是直线或没有角度。而从拓扑学角度来看，方形和圆形是同样的图形，十字形和弧形是另一种同样的图形。皮亚杰认为，对于这种隋况是不能用儿童的小肌肉没有充分发展来解释的，因为同年龄的儿童能正确地描绘内含一个小圆的一个封闭圆形，也能描绘内圆形和外圆形的地形学上的关系，甚至能描绘一个封闭圆形和一个圆形间在界线上的关系，但是他却不能正确临摹一个看起来技术含量更低的正方形。这表明，年龄很小的儿童就有拓扑学的直觉，他们已能够领会邻近、分离、包围、封闭等拓扑学上的关系。而属于欧几里得几何的直线、角度等概念，他们还不能领会，当然更不能临摹。
对学前儿童空间几何教育的启示
虽然一些心理学家发现皮亚杰理论及研究在逻辑及方法论上存在一定缺陷，进而提出了一些新思想、新方法，使该领域的研究有了新的发展。但无论是过去还是现在，皮亚杰理论及其研究仍占主导地位。其理论在学前教育的应用层出不穷，他的儿童空间概念的研究对学前教育也有许多有益的启示，有些一直是当今学前教育中所提倡的(如幼儿的动手操作等)。在具体的学前教育实践中，笔者根据儿童的空间概念发展提出如下建议：
1．空间几何的教学要与幼儿的生活经验紧密结合。
从皮亚杰的研究可知，学前儿童对几何形状的理解顺序是熟悉物品——拓扑图形——欧氏图形。因此，几何教学应从幼儿的实际生活经验着手；无论随机性教学或创意设计的结构性活动都要尽量与幼儿生活实际联结，或以生活情境为素材，这样对幼儿的学习才有意义。
比如，儿童每天早饭或点心吃的蛋糕、面包和饼干之类的食物有方也有圆；玩的各色积木有长也有短，形体各异；马路上的人行道往往都铺成各种几何形状。教师可结合生活场景进行随机教学，将抽象概念与具体生活经验结合，并借助对各种物体的边、侧面、角等性质的介绍，使儿童能够逐渐知道这些几何形状的名称。
2．引导儿童关注各种拓扑关系。
尽管心理学界对皮亚杰的关于儿童空间概念发展的次序并未一致赞同，但引导儿童关注身边的各种拓扑关系却是不争的一致。教师可以结合儿童的绘画作品引导儿童仔细观察，如画中人的头、身体、四肢的次序和包围关系，人脸上嘴、鼻子、嘴巴和眼睛的分离关系及与脸的轮廓的包围关系等。同时，在日常生活中应该向儿童提供运用这些拓扑关系的机会，比如眼睛如何画、把玩具都放回到箱子里去、排队时看看位置次序是怎样的。
3．要为儿童创设情境，提供大量动手操作的活动。
皮亚杰的研究表明，儿童对几何形状的理解单凭知觉或视觉是不够的，还必须通过触摸探索出图形的轮廓，进而抽象出形状来。儿童能够再认的，特别是能够表象的，只是那些他们自己能够重新构造的形状。许多研究也证实，操作立体几何图形的经验会促进儿童几何概念的学习(Gethaardt，1973；Prigge．19’78；Bishop，1980)。因此，大部分学者都支持动手操作活动。
在空间几何教学中，看、听和讲并不等于上述抽象和理解的过程，儿童必须根据自己对各种物体的操作来形成自己的心理结构。教师要尽量减少讲解演示的教学方式，而应该让幼儿从日常生活、游戏和教学活动中亲身体验空间几何概念。这类操作性的活动其实非常多，教师可根据实际需要来开展，如分类、辨认、匹配平面或立体几何积木，描绘几何图形，拼拆几何图板(七巧板等)，在钉板上用橡皮筋构造形状，折纸等。
4．有意识地给儿童呈现各种形状的不同变式。
学前儿童具有自我中心的意识，对以他人的视点来考虑问题还有一定的困难，如儿童对自己和娃娃所看到的木棒的不同描述以及对瓶子水位的不同考察。由于学前儿童缺乏对形状的恒常性的了解，往往会受知觉整体外观的影响，以为顶点在上的等腰三角形才是三角形如果把三角形、正方形等形状的位置改变，如移动、旋转、倒翻等，儿童很有可能就无法确认它们的形状了，比如把长方形转动45度，儿童也许就认为它是菱形。因此，教师要注意呈现形状的各种变式，如在配对、分类或送图形宝宝回家的游戏中，应该出示边长不一(等边、等腰或不规则的)、角度各异(锐角、钝角、直角)的多种三角形，边长比例不同的长方形等，同时教师要引导儿童关注图形的几何特征和属性，防止无关因素对图形定义的干扰。
5．鼓励儿童想像、预测、探究几何物体之间的关系。
皮亚杰的研究显示，对看不见的物体进行想像，有利于对几何形体的抽象和理解。当幼儿在进行各种操作活动时，最重要的是要对自己的行动加以思考，操作活动若无思考贯穿其中则会流于形式，为操作而操作毫无意义。因此，教师应鼓励儿童去想像、预测、探究物体之间的各种关系。比如，把等边三角形沿着一条高线对折起来，让儿童想像、预测它会变成什么形状，让儿童把自己的结果描述出来，然后通过有益的尝试来检验；或是把长方形沿着一条边进行旋转，叫儿童预测它是什么形状，然后通过电脑进行演示，让儿童直观地感知它所形成的圆柱体等，还可通过沿正方形的对角线或中位线折叠，探究正方形与三角形和长方形的相互关系等。